Aql ZoneAql Zone

Характеристическое уравнение

Высшая математика · 2 курс · глава 4 «Дифференциальные уравнения» · урок 2.

Неизвестное — функция. Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

В уроке 6 вопросов, каждый раз с новыми числами. Ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются. Ниже — примеры из этого урока.

Примеры вопросов

  1. Найдите корни характеристического уравнения

    y″ + 8y′ + 15y = 0

    k₁ = −5, k₂ = −3 · k₁ = −5, k₂ = 3 · k₁ = 3, k₂ = 5 · k₁ = 8, k₂ = 15

    Ответ и решение

    k₁ = −5, k₂ = −3

    1. y″ → k², y′ → k, y → 1: k² + 8k + 15 = 0
    2. Теорема Виета: x₁+x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a: k₁ + k₂ = −8, k₁·k₂ = 15
    3. Ответ: k₁ = −5, k₂ = −3

  2. Найдите корни характеристического уравнения

    y″ − y′ − 12y = 0

    k₁ = 3, k₂ = 4 · k₁ = −3, k₂ = 4 · k₁ = −12, k₂ = −1 · k₁ = −4, k₂ = 3

    Ответ и решение

    k₁ = −3, k₂ = 4

    1. y″ → k², y′ → k, y → 1: k² − k − 12 = 0
    2. Теорема Виета: x₁+x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a: k₁ + k₂ = 1, k₁·k₂ = −12
    3. Ответ: k₁ = −3, k₂ = 4

  3. Найдите корни характеристического уравнения

    y″ − 2y′ − 8y = 0

    k₁ = −8, k₂ = −2 · k₁ = −4, k₂ = −2 · k₁ = −4, k₂ = 2 · k₁ = −2, k₂ = 4

    Ответ и решение

    k₁ = −2, k₂ = 4

    1. y″ → k², y′ → k, y → 1: k² − 2k − 8 = 0
    2. Теорема Виета: x₁+x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a: k₁ + k₂ = 2, k₁·k₂ = −8
    3. Ответ: k₁ = −2, k₂ = 4

  4. Найдите корни характеристического уравнения

    y″ − 3y′ − 4y = 0

    k₁ = 1, k₂ = 4 · k₁ = −4, k₂ = 1 · k₁ = −4, k₂ = −3 · k₁ = −1, k₂ = 4

    Ответ и решение

    k₁ = −1, k₂ = 4

    1. y″ → k², y′ → k, y → 1: k² − 3k − 4 = 0
    2. Теорема Виета: x₁+x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a: k₁ + k₂ = 3, k₁·k₂ = −4
    3. Ответ: k₁ = −1, k₂ = 4

Начать урок

Уроки главы 4