Aql ZoneAql Zone

Повторение главы

Высшая математика · 2 курс · глава 4 «Дифференциальные уравнения» · урок 5.

Неизвестное — функция. Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

В уроке 6 вопросов, каждый раз с новыми числами. Ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются. Ниже — примеры из этого урока.

Примеры вопросов

  1. Найдите решение дифференциального уравнения

    y′ = 2xy

    y = Ce^(−x²) · y = Ce^(x²) · y = Ce^(4x²) · y = Ce^(2x²)

    Ответ и решение

    y = Ce^(x²)

    1. Разделяем переменные и интегрируем: dy/y = 2x dx → ln|y| = x² + C
    2. Ответ: y = Ce^(x²)

  2. Найдите корни характеристического уравнения

    y″ + 6y′ + 5y = 0

    k₁ = 5, k₂ = 6 · k₁ = 1, k₂ = 5 · k₁ = −5, k₂ = −1 · k₁ = −5, k₂ = 1

    Ответ и решение

    k₁ = −5, k₂ = −1

    1. y″ → k², y′ → k, y → 1: k² + 6k + 5 = 0
    2. Теорема Виета: x₁+x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a: k₁ + k₂ = −6, k₁·k₂ = 5
    3. Ответ: k₁ = −5, k₂ = −1

  3. Найдите общее решение уравнения

    y″ − 2y′ − 3y = 0

    y = (C₁ + C₂x)e^(3x) · y = C₁e^(−3x) · y = C₁e^(3x) + C₂e^(−x) · y = C₁e^(−3x) + C₂e^(x)

    Ответ и решение

    y = C₁e^(3x) + C₂e^(−x)

    1. y″ → k², y′ → k, y → 1: k² − 2k − 3 = 0 → k₁ = −1, k₂ = 3
    2. Ответ: y = C₁e^(3x) + C₂e^(−x)

  4. Найдите значение частной производной в точке

    f = −x²y + 2xy³ + 4x, ∂f/∂x (−2; 1) = ?

    10 · 8 · −16 · 14

    Ответ и решение

    10

    1. Другая переменная считается постоянной: ∂f/∂x = −2xy + 2y³ + 4
    2. Подставляем значения: 4 + 2 + 4
    3. Ответ: 10

Начать урок

Уроки главы 4