Aql ZoneAql Zone

Общее решение

Высшая математика · 2 курс · глава 4 «Дифференциальные уравнения» · урок 3.

Неизвестное — функция. Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

В уроке 6 вопросов, каждый раз с новыми числами. Ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются. Ниже — примеры из этого урока.

Примеры вопросов

  1. Найдите общее решение уравнения

    y″ − 6y′ + 9y = 0

    y = (C₁ + C₂x)e^(−3x) · y = (C₁ + C₂x)e^(3x) · y = C₁e^(3x) + C₂e^(3x) · y = C₁e^(3x)

    Ответ и решение

    y = (C₁ + C₂x)e^(3x)

    1. y″ → k², y′ → k, y → 1: k² − 6k + 9 = 0 → k = 3 (karrali)
    2. Ответ: y = (C₁ + C₂x)e^(3x)

  2. Найдите общее решение уравнения

    y″ + 2y′ + y = 0

    y = (C₁ + C₂x)e^(x) · y = (C₁ + C₂x)e^(−x) · y = C₁e^(−x) · y = C₁e^(−x) + C₂e^(−x)

    Ответ и решение

    y = (C₁ + C₂x)e^(−x)

    1. y″ → k², y′ → k, y → 1: k² + 2k + 1 = 0 → k = −1 (karrali)
    2. Ответ: y = (C₁ + C₂x)e^(−x)

  3. Найдите общее решение уравнения

    y″ − 16y = 0

    y = (C₁ + C₂x)e^(4x) · y = C₁e^(−4x) + C₂e^(4x) · y = C₁e^(−16x) · y = C₁e^(4x) + C₂e^(−4x)

    Ответ и решение

    y = C₁e^(4x) + C₂e^(−4x)

    1. y″ → k², y′ → k, y → 1: k² − 16 = 0 → k₁ = −4, k₂ = 4
    2. Ответ: y = C₁e^(4x) + C₂e^(−4x)

  4. Найдите общее решение уравнения

    y″ − 4y′ + 4y = 0

    y = C₁e^(2x) · y = (C₁ + C₂x)e^(2x) · y = C₁e^(2x) + C₂e^(2x) · y = (C₁ + C₂x)e^(−2x)

    Ответ и решение

    y = (C₁ + C₂x)e^(2x)

    1. y″ → k², y′ → k, y → 1: k² − 4k + 4 = 0 → k = 2 (karrali)
    2. Ответ: y = (C₁ + C₂x)e^(2x)

Начать урок

Уроки главы 4