Формулы по математике

152 основных формул школьной математики по разделам — с указанием класса.

Разделы

Измерения и действия (5 класс)

Периметр прямоугольника: P = 2(a + b)
Площадь прямоугольника: S = a · b
Периметр и площадь квадрата: P = 4a, S = a²
Объём параллелепипеда: V = a · b · c
Объём куба: V = a³
Скорость, время, расстояние: S = v · t, v = S/t, t = S/v
Степень — произведение n раз: aⁿ = a · a · … · a
Порядок действий: ( ) → aⁿ → · : → + −
Среднее арифметическое: (a + b + …) / n

Делимость, отношение, проценты (6 класс)

Делимость на 2 — по последней цифре: …0, …2, …4, …6, …8
Делимость на 3 и 9 — по сумме цифр: 1+2+3 = 6 ⋮ 3
Делимость на 5 и 10 — по последней цифре: 5: …0, …5 10: …0
Сокращение дроби — на НОД: a/b = (a : d) / (b : d)
Сложение дробей: a/b + c/d = (ad + cb) / bd
Умножение дробей: a/b · c/d = ac / bd
Деление дробей: a/b : c/d = a/b · d/c
Пропорция: a/b = c/d ⇒ a · d = b · c
Процент от числа: a · p / 100
Число по его проценту: a = (b · 100) / p
Длина окружности: C = 2πr = πd
Площадь круга: S = πr²
Противоположное число и модуль: −(−a) = a, |−a| = a

Сокращённое умножение (7 класс)

Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Квадрат разности: (a − b)² = a² − 2ab + b²
Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b)
Куб суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Разность кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Степени и корни (7 класс)

Произведение: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Частное: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Степень степени: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Отрицательный показатель: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Рациональный показатель: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
Корень произведения: √(ab) = √a · √b

Квадратное уравнение (8 класс)

Дискриминант: D = b² − 4ac
Корни: x = (−b ± √D) / 2a
Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a
Разложение трёхчлена: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
Вершина параболы: x₀ = −b / 2a

Планиметрия (8 класс)

Теорема Пифагора: a² + b² = c²
Площадь треугольника: S = a · h / 2
Площадь через синус: S = ½ · a · b · sin C
Формула Герона: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), p = P/2
Площадь параллелограмма: S = a · h
Площадь трапеции: S = (a + b) · h / 2
Площадь ромба: S = d₁ · d₂ / 2
Средняя линия трапеции: m = (a + b) / 2
Углы многоугольника: S = (n − 2) · 180°
Длина окружности: C = 2πr
Площадь круга: S = πr²
Длина дуги: l = πrn / 180
Площадь сектора: S = πr²n / 360

Тригонометрия (9 класс)

Основное тождество: sin²α + cos²α = 1
Тангенс: tg α = sin α / cos α
Сложение (синус): sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
Сложение (косинус): cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Двойной угол: sin 2α = 2 sin α cos α
Двойной угол: cos 2α = cos²α − sin²α
Табличные значения: sin: 0 · ½ · √2/2 · √3/2 · 1
Табличные значения: cos: 1 · √3/2 · √2/2 · ½ · 0
Радианы: 180° = π, 1 rad = 180°/π
Теорема синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab · cos C

Прогрессии (9 класс)

Арифметическая: n-й член: aₙ = a₁ + (n − 1)d
Арифметическая: сумма: Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2
Геометрическая: n-й член: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
Геометрическая: сумма: Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1)
Бесконечно убывающая: S = b₁ / (1 − q), |q| < 1

Логарифмы и степени (10 класс)

Определение: logₐ b = c ⇔ aᶜ = b
Произведение: logₐ(xy) = logₐx + logₐy
Частное: logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
Степень: logₐ(xⁿ) = n · logₐx
Переход к новому основанию: logₐb = log꜀b / log꜀a
Сложный процент: S = S₀(1 + p/100)ⁿ

Стереометрия (10 класс)

Формула Эйлера: U − Q + Y = 2
Объём параллелепипеда: V = a · b · c
Поверхность параллелепипеда: S = 2(ab + bc + ac)
Диагональ: d = √(a² + b² + c²)
Объём призмы: V = S · h
Объём пирамиды: V = S · h / 3
Объём цилиндра: V = πr²h
Боковая поверхность цилиндра: S = 2πrh
Объём конуса: V = πr²h / 3
Боковая поверхность конуса: S = πrl
Объём шара: V = 4/3 · πr³
Площадь сферы: S = 4πr²

Производная и интеграл (11 класс)

Степень: (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹
Произведение: (uv)′ = u′v + uv′
Частное: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v²
Сложная функция: (f(g))′ = f′(g) · g′
Таблица: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Таблица: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x
Касательная: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀)
Первообразная: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
Ньютон–Лейбниц: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

Вероятность и статистика (11 класс)

Классическое определение: P = m / n
Перестановки: Pₙ = n!
Размещения: Aₙᵏ = n! / (n − k)!
Сочетания: Cₙᵏ = n! / (k!(n − k)!)
Среднее арифметическое: x̄ = (x₁ + … + xₙ) / n
Дисперсия: D = Σ(xᵢ − x̄)² / n
Отклонение: σ = √D

Линейная алгебра (высшая математика)

Определитель 2×2: |a b; c d| = ad − bc
Определитель 3×3 — по первой строке: a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃
Произведение матриц: cᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼ
Обратная матрица (2×2): A⁻¹ = 1/det · [d −b; −c a]
Формулы Крамера: x = Δₓ/Δ, y = Δᵧ/Δ

Векторы и аналитическая геометрия (высшая математика)

Длина вектора: |a| = √(x² + y² + z²)
Скалярное произведение: a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = |a||b|cos φ
Векторное произведение: a × b = (y₁z₂ − z₁y₂; z₁x₂ − x₁z₂; x₁y₂ − y₁x₂)
Условие перпендикулярности: a·b = 0
Уравнение прямой: y = kx + b, Ax + By + C = 0
Расстояние от точки до прямой: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Пределы (высшая математика)

Первый замечательный предел: lim sin x / x = 1, x → 0
Второй замечательный предел: lim (1 + 1/x)ˣ = e, x → ∞
Эквивалентные бесконечно малые (x → 0): sin x ~ tg x ~ ln(1 + x) ~ eˣ − 1 ~ x
Рациональная дробь, x → ∞: lim = bosh hadlar nisbati
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0, ∞/∞)

Производная и интеграл (высшая математика)

Производная произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v²
Сложная функция: (f(g(x)))′ = f′(g) · g′
Показательная и логарифмическая: (eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ ln a, (ln x)′ = 1/x
Тригонометрические: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos²x
Ньютон–Лейбниц: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)
Интегрирование по частям: ∫u dv = uv − ∫v du
Основные интегралы: ∫dx/x = ln|x| + C, ∫eˣdx = eˣ + C, ∫cos x dx = sin x + C

Функции многих переменных и кратные интегралы (высшая математика)

Частная производная: ∂f/∂x — y o'zgarmas
Полный дифференциал: df = f′ₓdx + f′ᵧdy
Градиент: grad f = (∂f/∂x; ∂f/∂y)
Условие экстремума: f′ₓ = 0, f′ᵧ = 0; AC − B² > 0
Двойной интеграл: ∬ f dxdy = ∫ₐᵇ dx ∫ f dy
Полярные координаты: dxdy = r dr dφ

Ряды и дифференциальные уравнения (высшая математика)

Обобщённый гармонический ряд: Σ 1/nᵖ yaqinlashadi ⇔ p > 1
Признак Даламбера: lim aₙ₊₁/aₙ = l < 1 ⇒ yaqinlashadi
Радиус сходимости: R = lim |aₙ / aₙ₊₁|
Ряд Маклорена: f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(0) xⁿ / n!
Разложение eˣ: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
Уравнение с разделяющимися переменными: y′ = f(x)g(y) ⇒ ∫dy/g = ∫f dx
Уравнение y″ + py′ + qy = 0: k² + pk + q = 0 → y = C₁e^(k₁x) + C₂e^(k₂x)
Кратный корень: y = (C₁ + C₂x)e^(kx)

Теория вероятностей (высшая математика)

Классическая вероятность: P(A) = m / n
Вероятность суммы: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)
Вероятность произведения: P(AB) = P(A) · P(B|A)
Полная вероятность: P(A) = Σ P(Hᵢ) P(A|Hᵢ)
Формула Байеса: P(Hᵢ|A) = P(Hᵢ)P(A|Hᵢ) / P(A)
Формула Бернулли: Pₙ(k) = Cₙᵏ pᵏ qⁿ⁻ᵏ

Случайные величины и статистика (высшая математика)

Математическое ожидание: M(X) = Σ xᵢpᵢ
Дисперсия: D(X) = M(X²) − M(X)²
Биномиальное распределение: M = np, D = npq
Правило трёх сигм: P(|X − a| < 3σ) ≈ 0,997
Выборочное среднее: x̄ = Σ xᵢ / n
Исправленная дисперсия: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)