Aql ZoneBoshlang'ich funksiya
F′(x) = f(x) bo'lsa, F — f ning boshlang'ichi. Oxiriga + C yoziladi.
Hosilaning teskarisi. F(x) funksiya f(x) uchun boshlang'ich funksiya, agar F′(x) = f(x) bo'lsa. Bunday funksiyalar cheksiz ko'p, ular o'zgarmas C bilan farq qiladi — shu sabab javobga doim + C yoziladi. Tekshirish oson: javobning hosilasini oling.
Mavzu 11-sinf Matematika dasturida o'tiladi. Pastdagi darsda shu mavzu bo'yicha mashqlar bor: javob darhol tekshiriladi, xato qilingan savollar keyin qayta so'raladi.
Formulalar
- Daraja
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C (n ≠ −1) - Trigonometrik
∫ cos x dx = sin x + C, ∫ sin x dx = −cos x + C - Kvadrat maxrajli
∫ dx/cos²x = tg x + C, ∫ dx/sin²x = −ctg x + C - Boshqalar
∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ dx/x = ln|x| + C - Ichki chiziqli
∫ f(kx + b) dx = (1/k) · F(kx + b) + C ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C∫x dx = x² / 2 + C
Yechish tartibi
- Funksiyani jadvalga mos bo'laklarga ajrating (hadma-had).
- Har bir bo'lakka formulani qo'llang, o'zgarmas ko'paytuvchini tashqariga chiqaring.
- + C ni yozing; javobning hosilasini olib tekshiring.
Yechilgan misollar
∫ (3x² − 4x + 5) dx ni toping.
Yechimi
x³ − 2x² + 5x + C
- ∫ 3x² dx = x³, ∫ (−4x) dx = −2x², ∫ 5 dx = 5x
f(x) = 1/(1 − cos(−x + 8π)) ning boshlang'ich funksiyasini toping.
Yechimi
−ctg(x/2) + C
- cos(−x + 8π) = cos x (juft va davr 2π)
- 1 − cos x = 2 sin²(x/2) → f = 1 / (2 sin²(x/2))
- ∫ dx / sin²(x/2) = −2 ctg(x/2) → yarmi: −ctg(x/2)
- Tekshiruv: (−ctg(x/2))′ = (1/sin²(x/2)) · ½ ✓
f(x) = 2x, F(0) = 1 bo'lgan boshlang'ich funksiyani toping.
Yechimi
F(x) = x² + 1
- F(x) = x² + C
- F(0) = C = 1
Tipik xatolar
- + C ni tashlab ketish.
- ∫ f(kx + b) da 1/k ni unutish: ∫ cos 3x dx = (1/3) sin 3x.
- ∫ xⁿ dx da n + 1 ga bo'lishni unutish.
Savol va javob
Boshlang'ich funksiya — bu nima?
F′(x) = f(x) bo'lsa, F — f ning boshlang'ichi. Oxiriga + C yoziladi.
Boshlang'ich funksiya formulasi qanday?
Daraja: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C (n ≠ −1); Trigonometrik: ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ sin x dx = −cos x + C; Kvadrat maxrajli: ∫ dx/cos²x = tg x + C, ∫ dx/sin²x = −ctg x + C; Boshqalar: ∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ dx/x = ln|x| + C
Boshlang'ich funksiya qaysi sinfda o'tiladi?
11-sinf Matematika dasturida. Shu mavzu bo'yicha 1 ta dars va mashqlar bor.
Boshlang'ich funksiyada ko'p qilinadigan xato nima?
+ C ni tashlab ketish.