Aql ZoneEkstremum nuqtalari
y′ = 0 bo'ladigan nuqtalarni toping. Hosila ishorasi + dan − ga o'tsa maksimum, − dan + ga o'tsa minimum.
Ekstremum. Ekstremum — funksiya qiymati atrofdagilardan katta (maksimum) yoki kichik (minimum) bo'lgan nuqta. Bunday nuqta faqat f′(x) = 0 yoki hosila mavjud bo'lmagan joyda bo'lishi mumkin — bular kritik nuqtalar. Lekin har bir kritik nuqta ekstremum emas: hosila ishora ALMASHTIRISHI shart.
Grafikdan ekstremum sanash. Agar y = f′(x) grafigi berilsa: f′ ning nol nuqtalarida ishorasi + dan − ga o'tsa — maksimum, − dan + ga o'tsa — minimum. Ishora almashmay grafik o'qqa faqat tegib o'tsa — ekstremum yo'q.
Mavzu 11-sinf Matematika dasturida o'tiladi. Pastdagi darsda shu mavzu bo'yicha mashqlar bor: javob darhol tekshiriladi, xato qilingan savollar keyin qayta so'raladi.
Formulalar
- Maksimum
f′: + → − - Minimum
f′: − → + - Kritik nuqta
f′(x) = 0 y′ = 0parabolada: x₀ = −b / 2a
Yechish tartibi
- f′(x) ni toping va f′(x) = 0 ni yeching.
- Kritik nuqtalarni o'qqa qo'yib, oraliqlarda f′ ishorasini aniqlang.
- Ishora almashishiga qarab max/min ni ajrating; qiymatni f(x) dan toping.
Yechilgan misollar
f(x) = x³ − 3x ning ekstremumlarini toping.
Yechimi
max x = −1 (2), min x = 1 (−2)
- f′(x) = 3x² − 3 = 0 → x = −1, x = 1
- Ishoralar: (−∞; −1): +, (−1; 1): −, (1; ∞): +
- x = −1: + → − maksimum, f(−1) = 2
- x = 1: − → + minimum, f(1) = −2
y = f′(x) grafigi o'qni x = −5 (− → +), −1 (+ → −), 2 (− → +), 8 (+ → −), 11 (− → +) da kesib o'tadi. f ning maksimum va minimum nuqtalari nechta?
Yechimi
2 ta maksimum, 3 ta minimum
- + → −: −1 va 8
- − → +: −5, 2 va 11
Tipik xatolar
- f′(x) = 0 bo'lgan har bir nuqtani ekstremum deb olish: y = x³ da f′(0) = 0, lekin ekstremum yo'q.
- Maksimum bilan eng katta qiymatni aralashtirish: maksimum — faqat atrofdagilarga nisbatan.
Savol va javob
Ekstremum nuqtalari — bu nima?
y′ = 0 bo'ladigan nuqtalarni toping. Hosila ishorasi + dan − ga o'tsa maksimum, − dan + ga o'tsa minimum.
Ekstremum nuqtalari formulasi qanday?
Maksimum: f′: + → −; Minimum: f′: − → +; Kritik nuqta: f′(x) = 0; y′ = 0
Ekstremum nuqtalari qaysi sinfda o'tiladi?
11-sinf Matematika dasturida. Shu mavzu bo'yicha 1 ta dars va mashqlar bor.
Ekstremum nuqtalarida ko'p qilinadigan xato nima?
f′(x) = 0 bo'lgan har bir nuqtani ekstremum deb olish: y = x³ da f′(0) = 0, lekin ekstremum yo'q.