Aql ZoneСумма арифметической прогрессии
Полусумма первого и последнего членов умножается на их количество.
Формула суммы. Сумма первых n членов — среднее первого и последнего, умноженное на число членов. Так Гаусс нашёл 1 + 2 + … + 100: 50 пар по 101 → 5050.
Тема проходится в программе «Алгебра 9 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- Первый вид
Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n - Второй вид
Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) / 2 · n - Сумма натуральных
1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2 Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) · n / 2
Порядок решения
- Известен последний член? Да — первый вид; нет — второй (с d).
- Подставьте числа: сначала скобки, потом умножение.
Разобранные примеры
Найдите 1 + 2 + … + 100.
Решение
5050
- S₁₀₀ = 100 · 101 / 2
a₁ = 4, d = 3. Найдите сумму первых 10 членов.
Решение
175
- S₁₀ = (2 · 4 + 9 · 3) / 2 · 10 = (8 + 27) · 5
a₁ = −3, d = 2. Найдите S₂₀.
Решение
320
- S₂₀ = (2 · (−3) + 19 · 2) / 2 · 20 = (−6 + 38) · 10
Типичные ошибки
- Забыть делить на 2: (a₁ + aₙ)/2 · n.
- Во втором виде подставлять n вместо n − 1.
Вопросы и ответы
Сумма арифметической прогрессии — что это?
Полусумма первого и последнего членов умножается на их количество.
Какая формула у «Сумма арифметической прогрессии»?
Первый вид: Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n; Второй вид: Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) / 2 · n; Сумма натуральных: 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2; Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2
В каком классе проходят «Сумма арифметической прогрессии»?
В программе «Алгебра 9 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Сумма арифметической прогрессии»?
Забыть делить на 2: (a₁ + aₙ)/2 · n.