Aql Zone

Основное тригонометрическое тождество

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла равна 1.

Тождество. Координаты точки единичной окружности (cos α; sin α) и теорема Пифагора дают sin²α + cos²α = 1 при любом α. Зная одно значение, находим другое, а ЗНАК определяет четверть.

Знаки по четвертям. I четверть: все +. II: только sin +. III: только tg и ctg +. IV: только cos +.

Тема проходится в программе «Алгебра 9 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.

Формулы

• Основное тождествоsin²α + cos²α = 1
• Тангенсtg α = sin α / cos α
• Следствие1 + tg²α = 1 / cos²α
• Четвёртая степеньsin⁴α + cos⁴α = 1 − 2sin²α·cos²α
• cos α = √(1 − sin²α)
• sin α = 3/5 ⇒ cos α = 4/5

Порядок решения

1. Подставьте известное значение и найдите КВАДРАТ второго.
2. Извлеките корень, знак выберите по четверти.
3. При упрощении используйте 1 − sin² = cos².

Разобранные примеры

1. sin α = 3/5, α — острый. Найдите cos α.

   Решение

   4/5

   1. cos²α = 1 − 9/25 = 16/25
   2. I chorakda cos > 0

2. cos α = −5/13, α во II четверти. Найдите tg α.

   Решение

   −12/5

   1. sin²α = 1 − 25/169 = 144/169
   2. II chorakda sin > 0: sin α = 12/13
   3. tg α = (12/13) / (−5/13)

3. Выразите sin⁴α + cos⁴α через sin 2α.

   Решение

   1 − ½ sin² 2α

   1. = (sin²α + cos²α)² − 2sin²α·cos²α = 1 − 2sin²α·cos²α
   2. sin α·cos α = ½ sin 2α → 2sin²α·cos²α = ½ sin² 2α

Типичные ошибки

• Знак корня выбирается по четверти: при 0° < α < 90° — плюс.
• Брать корень всегда со знаком + без учёта четверти.
• Читать sin²α как sin(α²) — это (sin α)².

Вопросы и ответы

Уроки по этой теме

• Алгебра 9 класс · глава 3 · урок 4

Термины: Алгебра 9 класс

• Область определения
• Член арифметической прогрессии
• Сумма арифметической прогрессии
• Значение функции
• Нули функции
• Член геометрической прогрессии
• Сумма геометрической прогрессии
• Вероятность события
• Двойной угол
• Чётные и нечётные функции