Aql Zone

Теорема Виета

В приведённом уравнении сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, произведение — свободному члену.

Корни и коэффициенты. Не находя корни, можно узнать их сумму и произведение. Это сильно сокращает решение: сумма квадратов корней, сумма обратных, составление уравнения по корням.

Тема проходится в программе «Алгебра 8 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.

Формулы

• ax² + bx + c = 0x₁ + x₂ = −b / a, x₁ · x₂ = c / a
• Приведённое x² + px + q = 0x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q
• Сумма квадратовx₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂
• Сумма обратных1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁x₂)
• x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q

Порядок решения

1. Выпишите a, b, c со знаками и проверьте, что D ≥ 0.
2. Найдите сумму −b/a и произведение c/a.
3. Выразите нужное через эти две величины (сумма квадратов, обратных…).

Разобранные примеры

1. Корни 2x² − 5x − 3 = 0 — x₁, x₂. Найдите 1/x₁ + 1/x₂.

   Решение

   −5/3

   1. x₁ + x₂ = 5/2, x₁x₂ = −3/2
   2. 1/x₁ + 1/x₂ = (5/2) / (−3/2)

2. Найдите сумму квадратов корней x² − 4x + 1 = 0.

   Решение

   14

   1. x₁ + x₂ = 4, x₁x₂ = 1
   2. x₁² + x₂² = 4² − 2 · 1 = 16 − 2

3. Составьте приведённое уравнение с корнями 3 и −2.

   Решение

   x² − x − 6 = 0

   1. p = −(3 + (−2)) = −1, q = 3 · (−2) = −6

Типичные ошибки

• В сумме знак обратный: для x² − 3x − 18 = 0 x₁ + x₂ = 3.
• Брать сумму как b/a — нужно −b/a.
• При a ≠ 1 забывать делить на a.
• При D < 0 действительных корней нет — Виета применять нельзя.

Вопросы и ответы

Уроки по этой теме

• Алгебра 8 класс · глава 3 · урок 5

Термины: Алгебра 8 класс

• Биквадратное уравнение
• Неравенство с одной переменной
• Дискриминант
• Нахождение корней
• Свойства корня
• Комбинаторные задачи
• Квадратный корень
• Разложение квадратного трёхчлена
• Медиана
• Мода