Aql ZoneОпределённый интеграл. Ньютон–Лейбниц
Разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределах.
Формула. Определённый интеграл — число: значение первообразной на верхнем пределе минус на нижнем. Постоянная C сокращается при вычитании.
Тема проходится в программе «Математика 11 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- Ньютон–Лейбниц
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) - Перестановка пределов
∫ₐᵇ = −∫ᵇₐ - Разбиение
∫ₐᵇ = ∫ₐᶜ + ∫ᶜᵇ ∫₀³ x² dx = 27/3 − 0 = 9
Порядок решения
- Найдите первообразную F(x) (C не нужна).
- Подставьте верхний предел F(b) и нижний F(a).
- Вычислите F(b) − F(a) — порядок важен.
Разобранные примеры
Вычислите ∫₀² x² dx.
Решение
8/3
- F(x) = x³/3
- F(2) − F(0) = 8/3 − 0
Вычислите ∫₀^π sin x dx.
Решение
2
- F(x) = −cos x
- F(π) − F(0) = −cos π − (−cos 0) = 1 + 1
Вычислите ∫₁⁴ (2x + 1) dx.
Решение
18
- F(x) = x² + x
- F(4) − F(1) = (16 + 4) − (1 + 1) = 20 − 2
Типичные ошибки
- В определённом интеграле + C не пишут — оно сокращается.
- Вычитать F(a) − F(b) — ответ получит обратный знак.
- Считать F(0) всегда нулём: у −cos x значение F(0) = −1.
Вопросы и ответы
Определённый интеграл. Ньютон–Лейбниц — что это?
Разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределах.
Какая формула у «Определённый интеграл. Ньютон–Лейбниц»?
Ньютон–Лейбниц: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a); Перестановка пределов: ∫ₐᵇ = −∫ᵇₐ; Разбиение: ∫ₐᵇ = ∫ₐᶜ + ∫ᶜᵇ; ∫₀³ x² dx = 27/3 − 0 = 9
В каком классе проходят «Определённый интеграл. Ньютон–Лейбниц»?
В программе «Математика 11 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Определённый интеграл. Ньютон–Лейбниц»?
В определённом интеграле + C не пишут — оно сокращается.