Aql ZoneЗадачи на экстремум
Наибольшее или наименьшее значение достигается в точке, где производная равна нулю (или на концах отрезка).
Наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции достигаются в критических точках (f′ = 0 внутри) или на концах. Значения в этих точках сравнивают. В прикладной задаче выразите величину через одну переменную, решите f′ = 0.
Тема проходится в программе «Математика 11 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- Алгоритм
f′ = 0 → kritik nuqtalar → f(kritik), f(a), f(b) → eng katta/kichik y′ = 0у параболы: x₀ = −b / 2a
Порядок решения
- Найдите f′ = 0; оставьте точки внутри отрезка.
- Вычислите f в критических точках и на концах.
- Выберите наибольшее/наименьшее.
Разобранные примеры
Наибольшее и наименьшее f(x) = x³ − 3x на [0; 2]?
Решение
eng katta 2 (x = 2), eng kichik −2 (x = 1)
- f′ = 3x² − 3 = 0 → x = 1 ∈ [0; 2]
- f(0) = 0, f(1) = −2, f(2) = 8 − 6 = 2
Два числа с суммой 20 имеют наибольшее произведение. Какие?
Решение
10 va 10 (ko'paytma 100)
- x va 20 − x: f = x(20 − x) = 20x − x²
- f′ = 20 − 2x = 0 → x = 10
Наибольшая площадь прямоугольника периметра 40?
Решение
100
- Tomonlar x va 20 − x: S = x(20 − x)
- Maksimum x = 10 da (kvadrat): S = 100
Типичные ошибки
- Не проверить концы отрезка.
- Брать критическую точку вне отрезка.
Вопросы и ответы
Задачи на экстремум — что это?
Наибольшее или наименьшее значение достигается в точке, где производная равна нулю (или на концах отрезка).
Какая формула у «Задачи на экстремум»?
Алгоритм: f′ = 0 → kritik nuqtalar → f(kritik), f(a), f(b) → eng katta/kichik; y′ = 0; у параболы: x₀ = −b / 2a
В каком классе проходят «Задачи на экстремум»?
В программе «Математика 11 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Задачи на экстремум»?
Не проверить концы отрезка.