Aql ZoneТаблица производных
Производные основных функций нужно знать наизусть.
Что такое производная. Производная — скорость изменения функции: угловой коэффициент касательной к графику. Её находят по таблице и четырём правилам: сумма, произведение, частное и сложная функция.
Тема проходится в программе «Математика 11 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- Степень
(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹, (C)′ = 0, (x)′ = 1 - Тригонометрия
(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos²x - Показательная и логарифм
(eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ ln a, (ln x)′ = 1/x - Произведение
(u · v)′ = u′v + u v′ - Частное
(u / v)′ = (u′v − u v′) / v² - Сложная функция
(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x) (√x)′ = 1 / (2√x)(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x
Порядок решения
- Определите структуру функции: сумма, произведение, частное, вложенность.
- Примените правило и возьмите производную каждой части из таблицы.
- Если есть внутренняя функция — умножьте на её производную.
Разобранные примеры
Если f(t) = t⁴ − 2t² + 1, найдите f′(1).
Решение
0
- f′(t) = 4t³ − 4t
- f′(1) = 4 − 4
Найдите производную f(x) = x²⁰²¹ − cos x.
Решение
2021x²⁰²⁰ + sin x
- (x²⁰²¹)′ = 2021 · x²⁰²⁰, (−cos x)′ = +sin x
Найдите производную y = x² · sin x.
Решение
2x sin x + x² cos x
- u = x², v = sin x: u′ = 2x, v′ = cos x
- y′ = 2x · sin x + x² · cos x
Типичные ошибки
- Писать (uv)′ = u′v′ — верно u′v + uv′.
- Терять минус: (cos x)′ = −sin x.
- Не умножать на производную внутренней функции.
Вопросы и ответы
Таблица производных — что это?
Производные основных функций нужно знать наизусть.
Какая формула у «Таблица производных»?
Степень: (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹, (C)′ = 0, (x)′ = 1; Тригонометрия: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos²x; Показательная и логарифм: (eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ ln a, (ln x)′ = 1/x; Произведение: (u · v)′ = u′v + u v′
В каком классе проходят «Таблица производных»?
В программе «Математика 11 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Таблица производных»?
Писать (uv)′ = u′v′ — верно u′v + uv′.