Aql ZoneПервообразная
Если F′(x) = f(x), то F — первообразная f. В конце пишется + C.
Обратное к производной. F(x) — первообразная f(x), если F′(x) = f(x). Их бесконечно много, они отличаются на постоянную C — поэтому ответ всегда с + C. Проверка проста: возьмите производную ответа.
Тема проходится в программе «Математика 11 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- Степень
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C (n ≠ −1) - Тригонометрия
∫ cos x dx = sin x + C, ∫ sin x dx = −cos x + C - Со квадратом в знаменателе
∫ dx/cos²x = tg x + C, ∫ dx/sin²x = −ctg x + C - Другие
∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ dx/x = ln|x| + C - Линейная замена
∫ f(kx + b) dx = (1/k) · F(kx + b) + C ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C∫x dx = x² / 2 + C
Порядок решения
- Разбейте функцию на табличные слагаемые.
- К каждому слагаемому примените формулу, вынесите постоянный множитель.
- Допишите + C; проверьте, взяв производную.
Разобранные примеры
Найдите ∫ (3x² − 4x + 5) dx.
Решение
x³ − 2x² + 5x + C
- ∫ 3x² dx = x³, ∫ (−4x) dx = −2x², ∫ 5 dx = 5x
Найдите первообразную f(x) = 1/(1 − cos(−x + 8π)).
Решение
−ctg(x/2) + C
- cos(−x + 8π) = cos x (juft va davr 2π)
- 1 − cos x = 2 sin²(x/2) → f = 1 / (2 sin²(x/2))
- ∫ dx / sin²(x/2) = −2 ctg(x/2) → yarmi: −ctg(x/2)
- Tekshiruv: (−ctg(x/2))′ = (1/sin²(x/2)) · ½ ✓
Найдите первообразную f(x) = 2x, если F(0) = 1.
Решение
F(x) = x² + 1
- F(x) = x² + C
- F(0) = C = 1
Типичные ошибки
- Забыть + C.
- Забыть 1/k: ∫ cos 3x dx = (1/3) sin 3x.
- Забыть делить на n + 1 в ∫ xⁿ dx.
Вопросы и ответы
Первообразная — что это?
Если F′(x) = f(x), то F — первообразная f. В конце пишется + C.
Какая формула у «Первообразная»?
Степень: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C (n ≠ −1); Тригонометрия: ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ sin x dx = −cos x + C; Со квадратом в знаменателе: ∫ dx/cos²x = tg x + C, ∫ dx/sin²x = −ctg x + C; Другие: ∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ dx/x = ln|x| + C
В каком классе проходят «Первообразная»?
В программе «Математика 11 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Первообразная»?
Забыть + C.