Aql ZoneТаблица интегралов
Таблица производных, прочитанная наоборот.
Правила интегрирования. Интеграл суммы — сумма интегралов, постоянный множитель выносится. Если аргумент линейный (kx + b), результат умножают на 1/k. Всегда + C. Проверка: производная ответа даёт подынтегральную функцию.
Тема проходится в программе «Математика 11 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- Степень
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C - Линейный аргумент
∫ (kx + b)ⁿ dx = (kx + b)ⁿ⁺¹ / (k(n + 1)) + C - Тригонометрия
∫ sin kx dx = −cos kx / k + C, ∫ cos kx dx = sin kx / k + C - Другие
∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ dx/x = ln|x| + C ∫eˣ dx = eˣ + C∫cos x dx = sin x + C, ∫sin x dx = −cos x + C∫dx / x = ln|x| + C
Порядок решения
- Разбейте на табличные слагаемые.
- При линейном аргументе добавьте 1/k.
- Проверьте дифференцированием.
Разобранные примеры
Найдите ∫ (2x + 3)⁴ dx.
Решение
(2x + 3)⁵/10 + C
- k = 2, n = 4: (2x + 3)⁵ / (2 · 5)
Найдите ∫ sin 2x dx.
Решение
−½ cos 2x + C
- −cos 2x / 2
Найдите ∫ (x² + 1/x²) dx.
Решение
x³/3 − 1/x + C
- ∫ x² dx = x³/3
- ∫ x⁻² dx = −x⁻¹
Типичные ошибки
- Забыть 1/k.
- Пытаться применить степенную формулу к 1/x (это ln|x|).
Вопросы и ответы
Таблица интегралов — что это?
Таблица производных, прочитанная наоборот.
Какая формула у «Таблица интегралов»?
Степень: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C; Линейный аргумент: ∫ (kx + b)ⁿ dx = (kx + b)ⁿ⁺¹ / (k(n + 1)) + C; Тригонометрия: ∫ sin kx dx = −cos kx / k + C, ∫ cos kx dx = sin kx / k + C; Другие: ∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ dx/x = ln|x| + C
В каком классе проходят «Таблица интегралов»?
В программе «Математика 11 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Таблица интегралов»?
Забыть 1/k.