Aql Zone

Площадь криволинейной трапеции

Площадь, ограниченная графиком y = f(x), осью Ox и прямыми x = a, x = b, — определённый интеграл.

Интеграл — площадь. Если f(x) ≥ 0, площадь под графиком на [a; b] равна определённому интегралу. Площадь между двумя кривыми — интеграл от (верхняя − нижняя). Пределы — точки пересечения кривых.

Тема проходится в программе «Математика 11 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.

Формулы

• Под графикомS = ∫ₐᵇ f(x) dx (f ≥ 0)
• Между кривымиS = ∫ₐᵇ ( f(x) − g(x) ) dx, f ≥ g
• S = ∫ₐᵇ f(x) dx
• y = x, 0 … 5: 25/2 = 12,5

Порядок решения

1. Сделайте эскиз; определите, какая кривая выше.
2. Решите f(x) = g(x) — это пределы a и b.
3. Вычислите ∫(верхняя − нижняя); результат должен быть положительным.

Разобранные примеры

1. Найдите площадь под y = x² на [0; 3].

   Решение

   9

   1. S = ∫₀³ x² dx = 27/3 − 0

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками f(x) = 2√x и g(x) = 2x.

   Решение

   1/3

   1. 2√x = 2x → √x = x → x = 0 yoki x = 1 (2 ta umumiy nuqta)
   2. [0; 1] da √x ≥ x, demak f yuqorida
   3. S = ∫₀¹ (2√x − 2x) dx = [ (4/3)x^(3/2) − x² ]₀¹ = 4/3 − 1

3. Найдите площадь между y = 4 − x² и осью Ox.

   Решение

   32/3

   1. 4 − x² = 0 → x = ±2
   2. S = ∫₋₂² (4 − x²) dx = [4x − x³/3]₋₂²
   3. = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 16 − 16/3

Типичные ошибки

• Перепутать верхнюю и нижнюю кривые — получится отрицательная площадь.
• Брать пределы «на глаз», не решив f = g.

Вопросы и ответы

Уроки по этой теме

• Математика 11 класс · глава 3 · урок 4

Термины: Математика 11 класс

• Определённый интеграл. Ньютон–Лейбниц
• Первообразная
• Производная степени
• Вероятность
• Задачи на экстремум
• Точки экстремума
• Векторы в пространстве
• Узнай формулу
• Таблица производных
• Таблица интегралов