Aql ZoneТочки экстремума
Найдите точки, где y′ = 0. Если знак производной меняется с + на − — максимум, с − на + — минимум.
Экстремум. Экстремум — точка, где значение больше (максимум) или меньше (минимум) значений вокруг. Возможен лишь там, где f′(x) = 0 или производной нет — это критические точки. Но не каждая критическая точка — экстремум: производная должна МЕНЯТЬ знак.
Считать экстремумы по графику. Если дан график y = f′(x): в нулях f′ смена знака с + на − — максимум, с − на + — минимум. Если график лишь касается оси без смены знака — экстремума нет.
Тема проходится в программе «Математика 11 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- Максимум
f′: + → − - Минимум
f′: − → + - Критическая точка
f′(x) = 0 y′ = 0у параболы: x₀ = −b / 2a
Порядок решения
- Найдите f′(x) и решите f′(x) = 0.
- Отметьте критические точки и определите знак f′ на промежутках.
- По смене знака определите max/min; значение найдите из f(x).
Разобранные примеры
Найдите экстремумы f(x) = x³ − 3x.
Решение
max x = −1 (2), min x = 1 (−2)
- f′(x) = 3x² − 3 = 0 → x = −1, x = 1
- Ishoralar: (−∞; −1): +, (−1; 1): −, (1; ∞): +
- x = −1: + → − maksimum, f(−1) = 2
- x = 1: − → + minimum, f(1) = −2
График y = f′(x) пересекает ось в x = −5 (− → +), −1 (+ → −), 2 (− → +), 8 (+ → −), 11 (− → +). Сколько точек максимума и минимума у f?
Решение
2 ta maksimum, 3 ta minimum
- + → −: −1 va 8
- − → +: −5, 2 va 11
Типичные ошибки
- Считать экстремумом любую точку с f′ = 0: у y = x³ f′(0) = 0, но экстремума нет.
- Путать максимум и наибольшее значение: максимум — лишь среди соседних.
Вопросы и ответы
Точки экстремума — что это?
Найдите точки, где y′ = 0. Если знак производной меняется с + на − — максимум, с − на + — минимум.
Какая формула у «Точки экстремума»?
Максимум: f′: + → −; Минимум: f′: − → +; Критическая точка: f′(x) = 0; y′ = 0
В каком классе проходят «Точки экстремума»?
В программе «Математика 11 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Точки экстремума»?
Считать экстремумом любую точку с f′ = 0: у y = x³ f′(0) = 0, но экстремума нет.