Aql Zone

Арифметическая и геометрическая прогрессии

В арифметической к каждому члену прибавляют d, в геометрической — умножают на q.

Две прогрессии. Арифметическая: сложение (d), aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n. Геометрическая: умножение (q), bₙ = b₁ qⁿ⁻¹, Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). В смешанной задаче три числа берут как a − d, a, a + d.

Тема проходится в программе «Алгебра 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.

Формулы

• Арифметическаяaₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n
• Геометрическаяbₙ = b₁ · qⁿ⁻¹, Sₙ = b₁ (qⁿ − 1)/(q − 1)
• Три членаa − d, a, a + d (yig'indi 3a)
• aₙ = a₁ + (n − 1)d
• bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

Порядок решения

1. Определите вид (разность или отношение).
2. По двум данным найдите b₁ (a₁) и q (d).
3. Подставьте и найдите нужное.

Разобранные примеры

1. a₂ = 5, a₆ = 13. Найдите a₁, d и S₁₀.

   Решение

   a₁ = 3, d = 2, S₁₀ = 120

   1. 4d = 13 − 5 = 8 → d = 2, a₁ = 3
   2. a₁₀ = 3 + 18 = 21
   3. S₁₀ = (3 + 21)/2 · 10

2. b₂ = 6, b₅ = 48. Найдите b₁, q и S₄.

   Решение

   b₁ = 3, q = 2, S₄ = 45

   1. q³ = 48 / 6 = 8 → q = 2, b₁ = 3
   2. S₄ = 3 · (16 − 1) / 1

3. Три члена арифметической прогрессии в сумме 15. Если прибавить 1, 3, 9, получится геометрическая. Найдите числа.

   Решение

   3, 5, 7 yoki 15, 5, −5

   1. Sonlar 5 − d, 5, 5 + d
   2. 6 − d, 8, 14 + d — geometrik: 8² = (6 − d)(14 + d)
   3. 84 − 8d − d² = 64 → d² + 8d − 20 = 0 → d = 2 yoki d = −10

Типичные ошибки

• Подставлять n вместо n − 1.
• Не выделять случай q = 1.

Вопросы и ответы

Уроки по этой теме

• Алгебра 10 класс · глава 1 · урок 4

Термины: Алгебра 10 класс

• Периодические функции
• Определения вероятности
• Иррациональные уравнения
• Квадратичная функция и её график
• Показательные уравнения
• Показательные неравенства
• Понятие логарифма
• Свойства логарифмов
• Логарифмические уравнения
• Сложные проценты