Aql ZoneПоказательные неравенства
Приведите к одному основанию. Если основание больше 1, знак сохраняется; если между 0 и 1 — меняется.
Правило знака. В неравенстве aᶠ⁽ˣ⁾ > aᵍ⁽ˣ⁾: при a > 1 (функция возрастает) знак для показателей СОХРАНЯЕТСЯ: f > g. При 0 < a < 1 (убывает) знак МЕНЯЕТСЯ: f < g. В сложных случаях замена t = aˣ > 0.
Тема проходится в программе «Алгебра 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- a > 1
aᶠ > aᵍ ⇔ f > g - 0 < a < 1
aᶠ > aᵍ ⇔ f < g 3ˣ > 27 = 3³ ⇒ x > 3(1/2)ˣ > (1/2)³ ⇒ x < 3
Порядок решения
- Приведите обе части к одному основанию.
- Определите, больше ли основание 1, и выберите знак.
- Решите полученное неравенство.
Разобранные примеры
Решите 2ˣ > 8.
Решение
(3; +∞)
- 8 = 2³, asos 2 > 1: x > 3
Решите (1/2)ˣ > 4.
Решение
(−∞; −2)
- 4 = (1/2)⁻², asos < 1 — ishora teskari: x < −2
Решите 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 < 0.
Решение
(0; 2)
- t = 2ˣ > 0: t² − 5t + 4 < 0 → 1 < t < 4
- 1 < 2ˣ < 4 → 0 < x < 2
Типичные ошибки
- Не менять знак при основании меньше 1.
- Учитывать t ≤ 0: aˣ > 0.
Вопросы и ответы
Показательные неравенства — что это?
Приведите к одному основанию. Если основание больше 1, знак сохраняется; если между 0 и 1 — меняется.
Какая формула у «Показательные неравенства»?
a > 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f > g; 0 < a < 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f < g; 3ˣ > 27 = 3³ ⇒ x > 3; (1/2)ˣ > (1/2)³ ⇒ x < 3
В каком классе проходят «Показательные неравенства»?
В программе «Алгебра 10 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Показательные неравенства»?
Не менять знак при основании меньше 1.