Aql Zone

Свойства логарифмов

Логарифм произведения — сумма логарифмов, частного — разность, степени — показатель, умноженный на логарифм.

Что такое логарифм. log_a b — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Условия: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Произведение превращается в сумму, частное — в разность, степень — в множитель.

Тема проходится в программе «Алгебра 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.

Формулы

• Определениеa^(log_a b) = b
• Произведениеlog_a(bc) = log_a b + log_a c
• Частноеlog_a(b/c) = log_a b − log_a c
• Степеньlog_a bᵏ = k · log_a b
• Смена основанияlog_a b = log_c b / log_c a
• Особые значенияlog_a a = 1, log_a 1 = 0
• logₐ(xy) = logₐx + logₐy
• logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
• logₐ(xⁿ) = n · logₐx

Порядок решения

1. Запишите числа как степени основания (8 = 2³, 27 = 3³).
2. Соберите сумму/разность в один логарифм или наоборот.
3. Если основания разные — перейдите к общему.

Разобранные примеры

1. Вычислите log₂ 12 − log₂ 3.

   Решение

   2

   1. = log₂(12 / 3) = log₂ 4

2. Вычислите log₉ 27.

   Решение

   3/2

   1. 27 = 3³, 9 = 3²
   2. log_{3²} 3³ = (3/2) · log₃ 3

3. Вычислите 2^(log₂ 5 + 1).

   Решение

   10

   1. = 2^(log₂ 5) · 2¹ = 5 · 2

Типичные ошибки

• Для log(a + b) такой формулы нет.
• Писать log(b + c) = log b + log c — такого правила нет.
• Не проверять положительность аргумента: log₂(−4) не существует.

Вопросы и ответы

Уроки по этой теме

• Алгебра 10 класс · глава 4 · урок 3

Термины: Алгебра 10 класс

• Арифметическая и геометрическая прогрессии
• Периодические функции
• Определения вероятности
• Иррациональные уравнения
• Квадратичная функция и её график
• Показательные уравнения
• Показательные неравенства
• Понятие логарифма
• Логарифмические уравнения
• Сложные проценты