Aql ZoneЛогарифмические уравнения
Используйте определение: перейдите от логарифма к степени.
Сначала ОДЗ. Сначала запишите условия: аргумент > 0, основание > 0 и ≠ 1. Найденные корни проверяют по ним — свойства логарифмов могут расширять область и давать посторонние корни.
Тема проходится в программе «Алгебра 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- По определению
log_a f(x) = c ⇒ f(x) = aᶜ - Два логарифма
log_a f = log_a g ⇒ f = g (f > 0, g > 0) - Замена
t = log_a x logₐ x = c ⇒ x = aᶜlog₃ x = 3 ⇒ x = 27
Порядок решения
- Запишите ОДЗ: выражение под каждым логарифмом > 0.
- Соберите логарифмы в один и потенцируйте.
- Решите уравнение и проверьте корни по ОДЗ.
Разобранные примеры
Решите log₂(x − 1) = 3.
Решение
x = 9
- ODZ: x > 1
- x − 1 = 2³ = 8 → x = 9 (9 > 1 ✓)
Решите log₃ x + log₃(x + 2) = 1.
Решение
x = 1
- ODZ: x > 0
- log₃ x(x + 2) = 1 → x² + 2x = 3 → x² + 2x − 3 = 0
- x = 1 yoki x = −3; x = −3 ODZ ga kirmaydi
Решите lg²x − 3 lg x + 2 = 0.
Решение
x = 10, x = 100
- t = lg x: t² − 3t + 2 = 0 → t = 1 yoki t = 2
- x = 10¹ = 10; x = 10² = 100
Типичные ошибки
- Выражение под логарифмом должно быть положительным — проверьте ответ.
- Записать оба корня, не проверив ОДЗ.
- Заменять log₃ x + log₃(x + 2) на log₃(2x + 2) — под логарифмом ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
Вопросы и ответы
Логарифмические уравнения — что это?
Используйте определение: перейдите от логарифма к степени.
Какая формула у «Логарифмические уравнения»?
По определению: log_a f(x) = c ⇒ f(x) = aᶜ; Два логарифма: log_a f = log_a g ⇒ f = g (f > 0, g > 0); Замена: t = log_a x; logₐ x = c ⇒ x = aᶜ
В каком классе проходят «Логарифмические уравнения»?
В программе «Алгебра 10 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Логарифмические уравнения»?
Выражение под логарифмом должно быть положительным — проверьте ответ.