Aql Zone

Иррациональные уравнения

Возведите обе части в квадрат и ОБЯЗАТЕЛЬНО проверьте ответ — возведение в квадрат может дать посторонние корни.

Иррациональное уравнение. Неизвестное стоит под корнем. Уединяем корень и возводим обе части в квадрат. Возведение может дать посторонние корни, поэтому ВСЕГДА делаем проверку. Значение корня неотрицательно: если √f = g, то g ≥ 0.

Иррациональное неравенство. Для √f < g одновременно: f ≥ 0, g > 0, f < g². Для √f > g два случая: g < 0 — достаточно f ≥ 0; g ≥ 0 — тогда f > g².

Тема проходится в программе «Алгебра 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.

Формулы

• Уравнение√f = g ⇔ f = g², g ≥ 0
• Неравенство√f < g ⇔ f ≥ 0, g > 0, f < g²
• √(x + 4) = 5 ⇒ x + 4 = 25 ⇒ x = 21

Порядок решения

1. Уедините корень.
2. Возведите в квадрат и решите получившееся уравнение.
3. Проверьте условие g ≥ 0 — отбросьте посторонние корни.

Разобранные примеры

1. Решите √(x + 3) = x − 3.

   Решение

   x = 6

   1. x + 3 = (x − 3)² → x² − 7x + 6 = 0 → x = 1 yoki x = 6
   2. Shart x − 3 ≥ 0: x = 1 mos emas
   3. Tekshiruv: √9 = 3 = 6 − 3 ✓

2. Решите √(2x − 1) = 3.

   Решение

   x = 5

   1. 2x − 1 = 9 → x = 5
   2. Tekshiruv: √9 = 3 ✓

3. Решите √(x + 18) < 2 − x.

   Решение

   [−18; −2)

   1. x + 18 ≥ 0 → x ≥ −18
   2. 2 − x > 0 → x < 2
   3. x + 18 < (2 − x)² → x² − 5x − 14 > 0 → (x − 7)(x + 2) > 0 → x < −2 yoki x > 7
   4. Uchala shartni kesishtiramiz

Типичные ошибки

• Не проверить: корень 1 нарушает x − 3 ≥ 0.
• В неравенстве записать только f < g², забыв f ≥ 0 и g > 0.

Вопросы и ответы

Уроки по этой теме

• Алгебра 10 класс · глава 3 · урок 2

Термины: Алгебра 10 класс

• Арифметическая и геометрическая прогрессии
• Периодические функции
• Определения вероятности
• Квадратичная функция и её график
• Показательные уравнения
• Показательные неравенства
• Понятие логарифма
• Свойства логарифмов
• Логарифмические уравнения
• Сложные проценты