Aql ZoneПоказательные уравнения
Приведите обе части к одному основанию и приравняйте показатели.
Идея. Показательная функция aˣ (a > 0, a ≠ 1) принимает каждое значение один раз, поэтому при равных основаниях приравниваем показатели. Если основания разные — приводим к одному или делаем замену t = aˣ. Важно: aˣ всегда ПОЛОЖИТЕЛЬНО, значит t > 0.
Тема проходится в программе «Алгебра 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- Одно основание
aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ ⇒ f(x) = g(x) - Степени
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ - Замена
t = aˣ, t > 0 aˣ = aᵇ ⇒ x = b5ˣ = 25 = 5² ⇒ x = 2
Порядок решения
- Приведите все степени к одному основанию (4 = 2², 9 = 3², 1/2 = 2⁻¹).
- Разложите aˣ⁺ᵏ = aˣ · aᵏ и введите t = aˣ.
- Найдите t, отбросьте t ≤ 0, затем найдите x.
Разобранные примеры
Решите 2ˣ⁺¹ = 32.
Решение
x = 4
- 32 = 2⁵ → x + 1 = 5
Решите 4ˣ − 3 · 2ˣ + 2 = 0.
Решение
x = 0, x = 1
- t = 2ˣ > 0: t² − 3t + 2 = 0 → t = 1 yoki t = 2
- 2ˣ = 1 → x = 0; 2ˣ = 2 → x = 1
Найдите сумму корней 3³ˣ − 2 · 3²ˣ + 9 · 3ˣ⁻² = 0.
Решение
x = 0
- 9 · 3ˣ⁻² = 3² · 3ˣ / 3² = 3ˣ
- t = 3ˣ: t³ − 2t² + t = 0 → t(t − 1)² = 0
- t > 0 ⇒ t = 1 → 3ˣ = 1
Типичные ошибки
- Забыть t > 0: 2ˣ = −3 невозможно.
- Приравнивать показатели при разных основаниях.
Вопросы и ответы
Показательные уравнения — что это?
Приведите обе части к одному основанию и приравняйте показатели.
Какая формула у «Показательные уравнения»?
Одно основание: aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ ⇒ f(x) = g(x); Степени: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; Замена: t = aˣ, t > 0; aˣ = aᵇ ⇒ x = b
В каком классе проходят «Показательные уравнения»?
В программе «Алгебра 10 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Показательные уравнения»?
Забыть t > 0: 2ˣ = −3 невозможно.