Aql ZoneВекторы в пространстве
Длина вектора в пространстве — корень из суммы квадратов трёх координат.
Векторы в пространстве. Вектор имеет три координаты a(x; y; z). Длина |a| = √(x² + y² + z²). Сложение и умножение на число покоординатно. Скалярное произведение a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = |a||b| cos φ; перпендикулярны ⇔ 0. Коллинеарны: координаты пропорциональны.
Тема проходится в программе «Геометрия 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- Длина
|a| = √(x² + y² + z²) - Скалярное произведение
a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ - Угол
cos φ = a · b / (|a| |b|) |a⃗| = √(x² + y² + z²)a⃗(−2; 3; 6): √49 = 7
Порядок решения
- Получите вектор: координаты конца − начала.
- Выполните нужное: длина, скалярное произведение или угол.
Разобранные примеры
Длина a(1; 2; 2)?
Решение
3
- √(1 + 4 + 4)
a(1; 2; 3), b(2; −1; 0). Перпендикулярны ли?
Решение
Ha
- a · b = 2 − 2 + 0 = 0
Угол между a(1; 0; 1) и b(0; 1; 1)?
Решение
60°
- a · b = 1; |a| = |b| = √2
- cos φ = 1/2
Типичные ошибки
- Пропустить одну из трёх координат.
Вопросы и ответы
Векторы в пространстве — что это?
Длина вектора в пространстве — корень из суммы квадратов трёх координат.
Какая формула у «Векторы в пространстве»?
Длина: |a| = √(x² + y² + z²); Скалярное произведение: a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂; Угол: cos φ = a · b / (|a| |b|); |a⃗| = √(x² + y² + z²)
В каком классе проходят «Векторы в пространстве»?
В программе «Геометрия 10 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Векторы в пространстве»?
Пропустить одну из трёх координат.