Aql ZoneТреугольники и четырёхугольники
Сумма углов треугольника 180°, четырёхугольника — 360°.
Треугольник. Сумма углов треугольника всегда 180°. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Против большей стороны лежит больший угол. Каждая сторона меньше суммы двух других.
Равнобедренный и равносторонний. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а высота к основанию — одновременно медиана и биссектриса. В равностороннем все углы по 60°.
Прямоугольный треугольник. Пифагор: c² = a² + b². Медиана к гипотенузе равна её половине. Катет против угла 30° равен половине гипотенузы.
Четырёхугольники. Сумма углов четырёхугольника 360°. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны, диагонали делятся точкой пересечения пополам. У ромба все стороны равны, диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. У прямоугольника диагонали равны. Квадрат — и ромб, и прямоугольник. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Тема проходится в программе «Геометрия 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- Углы треугольника
∠A + ∠B + ∠C = 180° - Сумма углов n-угольника
(n − 2) · 180° - Внешний угол
∠tashqi = ∠B + ∠C - Теорема Пифагора
c² = a² + b² - Средняя линия трапеции
m = (a + b) / 2 - Углы параллелограмма
∠A + ∠B = 180° параллелограмм: ∠A + ∠B = 180°
Порядок решения
- Сделайте чертёж и отметьте на нём данные.
- Определите вид фигуры: равнобедренный, прямоугольный, параллелограмм — и выпишите её свойства.
- Обозначьте неизвестное за x и составьте уравнение по углам или сторонам.
- Решите уравнение и проверьте ответ: угол в пределах 0°–180°, сторона положительна.
Разобранные примеры
В треугольнике ABC ∠A = 57°, ∠B = 61°. Найдите ∠C.
Решение
62°
- ∠A + ∠B + ∠C = 180°
- ∠C = 180° − 57° − 61°
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медиана BD = 4 см. Периметр ABD равен 12 см. Найдите периметр ABC.
Решение
16 cm
- В равнобедренном треугольнике медиана к основанию — и высота: AD = DC.
- P(ABD) = AB + AD + BD = 12 → AB + AD = 12 − 4 = 8
- P(ABC) = AB + BC + AC = 2AB + 2AD = 2(AB + AD) = 2 · 8
Диагональ прямоугольника 13 см, одна сторона 5 см. Найдите площадь.
Решение
60 cm²
- Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника.
- b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → b = 12
- S = 5 · 12
Типичные ошибки
- Путать внешний угол с соседним внутренним: внешний = сумма двух несмежных внутренних.
- Считать диагонали параллелограмма равными — они равны только у прямоугольника.
- Путать периметр и площадь: периметр — сумма сторон (см), площадь — см².
Вопросы и ответы
Треугольники и четырёхугольники — что это?
Сумма углов треугольника 180°, четырёхугольника — 360°.
Какая формула у «Треугольники и четырёхугольники»?
Углы треугольника: ∠A + ∠B + ∠C = 180°; Сумма углов n-угольника: (n − 2) · 180°; Внешний угол: ∠tashqi = ∠B + ∠C; Теорема Пифагора: c² = a² + b²
В каком классе проходят «Треугольники и четырёхугольники»?
В программе «Геометрия 10 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Треугольники и четырёхугольники»?
Путать внешний угол с соседним внутренним: внешний = сумма двух несмежных внутренних.