Площадь и окружность

Основные формулы площади и круг.

Площадь. Площадь — «сколько места» занимает фигура, измеряется в см². Высота всегда проводится ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО основанию — боковая сторона высотой не является. Площадь треугольника — половина площади параллелограмма, ведь диагональ делит его на два равных треугольника.

Окружность и круг. Окружность — линия, круг — то, что внутри. Центральный угол равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол равен ПОЛОВИНЕ дуги, поэтому угол на диаметре — 90°. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания, отрезки касательных из одной точки равны.

Вписанная и описанная окружности. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, описанной — серединных перпендикуляров. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы. Диаметр окружности, описанной около квадрата, равен его диагонали.

Тема проходится в программе «Геометрия 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.

Формулы

ПрямоугольникS = a · b
ПараллелограммS = a · h
ТреугольникS = a · h / 2 = ½ ab · sin C
Формула ГеронаS = √( p(p−a)(p−b)(p−c) ), p = (a+b+c)/2
ТрапецияS = (a + b) / 2 · h
РомбS = d₁ · d₂ / 2
Длина окружности и площадь кругаC = 2πR, S = πR²
Окружности треугольникаr = S / p, R = abc / (4S)
Правильный треугольникS = a²√3 / 4
прямоугольник: S = a · b
треугольник: S = a · h / 2

Порядок решения

Определите вид фигуры и выберите формулу.
Возьмите высоту, перпендикулярную основанию; если она не дана — найдите по Пифагору или через синус.
Приведите все длины к одной единице (м ↔ дм ↔ см).
Запишите ответ с единицей² и проверьте здравый смысл: часть не бывает больше целого.

Разобранные примеры

Основание параллелограмма a = 10, высота h = 15. Найдите площадь.
Решение
150
1. S = a · h
2. S = 10 · 15
Стороны треугольника 13, 14, 15. Найдите площадь и радиус вписанной окружности.
Решение
S = 84, r = 4
1. p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
2. S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84
3. r = S / p = 84 / 21
В окружность радиуса 5 вписан квадрат. Найдите площадь квадрата и часть круга вне квадрата.
Решение
50 va 25π − 50
1. Диагональ квадрата = диаметр = 10.
2. S(kvadrat) = d² / 2 = 100 / 2 = 50
3. S(doira) = π · 5² = 25π
4. 25π − 50

Типичные ошибки

Брать боковую сторону параллелограмма за высоту — высота обязана быть перпендикуляром.
В формуле Герона брать p как весь периметр — p это полупериметр.
Путать диаметр и радиус: в S = πR² берётся радиус, а не диаметр.

Вопросы и ответы

Площадь и окружность — что это?

Основные формулы площади и круг.

Какая формула у «Площадь и окружность»?

Прямоугольник: S = a · b; Параллелограмм: S = a · h; Треугольник: S = a · h / 2 = ½ ab · sin C; Формула Герона: S = √( p(p−a)(p−b)(p−c) ), p = (a+b+c)/2

В каком классе проходят «Площадь и окружность»?

В программе «Геометрия 10 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.

Какая ошибка чаще всего встречается в «Площадь и окружность»?

Брать боковую сторону параллелограмма за высоту — высота обязана быть перпендикуляром.

Уроки по этой теме

Геометрия 10 класс · глава 1 · урок 2