Aql Zone

Теоремы синусов и косинусов

Сторона и два угла — теорема синусов; две стороны и угол между ними — теорема косинусов.

Теорема синусов. Отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон и равно диаметру описанной окружности. Применяем, когда даны два угла и сторона либо сторона и противолежащий угол.

Теорема косинусов. Обобщение теоремы Пифагора: работает и без прямого угла. Применяем, когда даны две стороны и угол между ними (третья сторона) или три стороны (угол).

Вид угла по сторонам. Знак косинуса показывает вид угла: cos C > 0 — острый, 0 — прямой, < 0 — тупой. Если квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других — треугольник тупоугольный.

Тема проходится в программе «Геометрия 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.

Формулы

• Теорема синусовa / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
• Теорема косинусовc² = a² + b² − 2ab · cos C
• Нахождение углаcos C = (a² + b² − c²) / (2ab)
• ПлощадьS = ½ · a · b · sin C

Порядок решения

1. Выпишите данные: что известно и что нужно найти.
2. Есть пара «сторона — противолежащий угол» — синусов; две стороны и угол между ними или три стороны — косинусов.
3. Составьте уравнение и найдите неизвестное (в косинусах в конце извлеките корень).
4. Найдя угол по синусу, проверьте острый и тупой вариант: sin α = sin(180° − α).

Разобранные примеры

1. a = 7, b = 8, ∠C = 60°. Найдите c.

   Решение

   c = √57

   1. c² = 7² + 8² − 2 · 7 · 8 · cos 60°
   2. c² = 49 + 64 − 112 · ½ = 113 − 56 = 57

2. b = 10, ∠A = 30°, ∠B = 45°. Найдите a.

   Решение

   5√2

   1. a / sin 30° = b / sin 45°
   2. a = 10 · sin 30° / sin 45° = 10 · (1/2) / (√2/2)
   3. a = 10 / √2 = 5√2

3. Найдите наибольший угол треугольника со сторонами 3, 5, 7.

   Решение

   120°

   1. Наибольший угол лежит против наибольшей стороны (7).
   2. cos C = (3² + 5² − 7²) / (2 · 3 · 5) = (9 + 25 − 49) / 30 = −15 / 30 = −½
   3. cos C = −½ → C = 120°

Типичные ошибки

• В теореме синусов ставить сторону в пару не с противолежащим углом.
• Терять минус в −2ab cos C (или забывать сам cos).
• Считать ошибкой отрицательный cos — это просто тупой угол (больше 90°).

Вопросы и ответы

Уроки по этой теме

• Геометрия 10 класс · глава 1 · урок 3

Термины: Геометрия 10 класс

• Скрещивающиеся прямые
• Формула Эйлера
• Расстояние между точками в пространстве
• Взаимное расположение прямых в пространстве
• Векторы в пространстве
• Многогранники и их элементы
• Диагональ параллелепипеда
• Взаимное расположение плоскостей
• Треугольники и четырёхугольники
• Площадь и окружность