Aql ZoneТеорема косинусов
Обобщение теоремы Пифагора на любой треугольник.
Теорема. Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других минус удвоенное произведение их на косинус угла между ними. Обобщение Пифагора: при 90° cos = 0. Даны две стороны и угол между ними — находим третью; даны три стороны — угол.
Тема проходится в программе «Геометрия 9 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- Сторона
c² = a² + b² − 2ab · cos C - Угол
cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)
Порядок решения
- Определите, какие элементы известны.
- Подставьте (не потеряйте −2ab cos C).
- Для стороны извлеките корень; для угла определите вид по знаку косинуса.
Разобранные примеры
a = 7, b = 8, C = 60°. c?
Решение
√57
- c² = 49 + 64 − 2 · 7 · 8 · ½ = 113 − 56 = 57
a = 3, b = 5, c = 7. Наибольший угол?
Решение
120°
- cos C = (9 + 25 − 49) / 30 = −15/30 = −½
Типичные ошибки
- cos 120° = −1/2, поэтому минус превращается в плюс: 9 + 9 + 9 = 27.
- Потерять минус в −2ab cos C.
- Брать угол не между сторонами.
Вопросы и ответы
Теорема косинусов — что это?
Обобщение теоремы Пифагора на любой треугольник.
Какая формула у «Теорема косинусов»?
Сторона: c² = a² + b² − 2ab · cos C; Угол: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)
В каком классе проходят «Теорема косинусов»?
В программе «Геометрия 9 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Теорема косинусов»?
cos 120° = −1/2, поэтому минус превращается в плюс: 9 + 9 + 9 = 27.