Aql ZoneФормулы сложения
Синус и косинус суммы и разности двух углов.
Формулы сложения. Синус и косинус суммы или разности выражаются через функции слагаемых. Отсюда формулы суммы в произведение: cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2) и sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2).
Тема проходится в программе «Алгебра 9 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- Синус
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β - Косинус
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β - Сумма → произведение
cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) · cos((A−B)/2) - Разность → произведение
sin A − sin B = 2 cos((A+B)/2) · sin((A−B)/2)
Порядок решения
- Разложите угол в сумму/разность табличных (75° = 45° + 30°).
- Примените формулу; у косинуса средний знак ПРОТИВОПОЛОЖЕН.
- Преобразуйте в произведение и сократите.
Разобранные примеры
Вычислите sin 75°.
Решение
(√6 + √2)/4
- sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
- = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4
Упростите (cos 3α + cos α)/(sin 3α − sin α).
Решение
ctg α
- cos 3α + cos α = 2 cos 2α · cos α
- sin 3α − sin α = 2 cos 2α · sin α
- Qisqartiramiz: cos α / sin α
Вычислите cos 15°.
Решение
(√6 + √2)/4
- cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
Типичные ошибки
- У косинуса знак обратный: в cos(α + β) стоит минус.
- Писать cos(α + β) с плюсом (нужен минус).
- Считать sin(α + β) = sin α + sin β.
Вопросы и ответы
Формулы сложения — что это?
Синус и косинус суммы и разности двух углов.
Какая формула у «Формулы сложения»?
Синус: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; Косинус: cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β; Сумма → произведение: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) · cos((A−B)/2); Разность → произведение: sin A − sin B = 2 cos((A+B)/2) · sin((A−B)/2)
В каком классе проходят «Формулы сложения»?
В программе «Алгебра 9 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Формулы сложения»?
У косинуса знак обратный: в cos(α + β) стоит минус.