Aql Zone

Рациональные уравнения

Умножьте обе части на знаменатель, решите полученное уравнение и отбросьте корни, обращающие знаменатель в ноль.

Дробно-рациональное уравнение. Уравнение с неизвестным в знаменателе. Решение: запишите ОДЗ (знаменатель ≠ 0), приведите к общему знаменателю, приравняйте числитель к нулю, проверьте корни по ОДЗ — обращающие знаменатель в нуль ПОСТОРОННИЕ. В сложных случаях удобна замена (t = x/3 − 4/x и т. п.).

Тема проходится в программе «Алгебра 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.

Формулы

• Дробь равна нулюP(x)/Q(x) = 0 ⇔ P(x) = 0 va Q(x) ≠ 0
• Пропорцияa/b = c/d ⇔ ad = bc (b, d ≠ 0)
• 25 / (x + 2) = 5 ⇒ x + 2 = 5 ⇒ x = 3

Порядок решения

1. Запишите ОДЗ.
2. Приведите к общему знаменателю, приравняйте числитель к 0.
3. Проверьте корни по ОДЗ.

Разобранные примеры

1. Решите (x² − 1)/(x − 1) = 0.

   Решение

   x = −1

   1. ODZ: x ≠ 1
   2. x² − 1 = 0 → x = ±1
   3. x = 1 ODZ ga kirmaydi

2. Решите 3/(x − 1) = 2/(x − 2).

   Решение

   x = 4

   1. ODZ: x ≠ 1, x ≠ 2
   2. 3(x − 2) = 2(x − 1) → 3x − 6 = 2x − 2

3. Сумма корней x²/3 + 48/x² = 10(x/3 − 4/x)?

   Решение

   10

   1. t = x/3 − 4/x: t² = x²/9 − 8/3 + 16/x² → x²/3 + 48/x² = 3t² + 8
   2. 3t² + 8 = 10t → t = 2 yoki t = 4/3
   3. x/3 − 4/x = 2 → x² − 6x − 12 = 0: yig'indi 6
   4. x/3 − 4/x = 4/3 → x² − 4x − 12 = 0: yig'indi 4

Типичные ошибки

• Не проверять корни по ОДЗ.
• Сократить на выражение с x и потерять корень.

Вопросы и ответы

Уроки по этой теме

• Алгебра 10 класс · глава 3 · урок 1

Термины: Алгебра 10 класс

• Арифметическая и геометрическая прогрессии
• Периодические функции
• Определения вероятности
• Иррациональные уравнения
• Квадратичная функция и её график
• Показательные уравнения
• Показательные неравенства
• Понятие логарифма
• Свойства логарифмов
• Логарифмические уравнения