Aql ZoneПростейшие тригонометрические уравнения
Решение — не одно число, а бесконечное семейство: в конце добавляется период.
Три основных уравнения. Для sin x = a и cos x = a нужно |a| ≤ 1, иначе решений нет. Из-за периодичности решений бесконечно: всегда добавляется πk или 2πk (k — целое). Сложное уравнение раскладывают на множители и приравнивают каждый к нулю.
Тема проходится в программе «Алгебра 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- sin x = a
x = (−1)ᵏ · arcsin a + πk - cos x = a
x = ± arccos a + 2πk - tg x = a
x = arctg a + πk - Особые случаи
sin x = 0: x = πk; cos x = 0: x = π/2 + πk - Разность синусов
sin A − sin B = 2 cos((A+B)/2) · sin((A−B)/2) sin x = 0: x = πn, sin x = 1: x = π/2 + 2πncos x = 0: x = π/2 + πn, cos x = 1: x = 2πncos x = a: x = ±arccos a + 2πntg x = a: x = arctg a + πn
Порядок решения
- Приведите уравнение к виду sin(…) = a.
- Проверьте |a| ≤ 1; используйте подходящую формулу.
- Если под функцией 2x или x/2 — в конце выразите x.
- Ищите корни на отрезке, перебирая целые k.
Разобранные примеры
Решите sin x = 1/2.
Решение
x = (−1)ᵏ · π/6 + πk
- arcsin(1/2) = π/6
Решите cos 2x = 0.
Решение
x = π/4 + πk/2
- 2x = π/2 + πk
- x = π/4 + πk/2
Решите sin 7x · cos x = sin 6x; найдите наименьший положительный корень.
Решение
π/14
- sin 7x · cos x = ½(sin 8x + sin 6x) → ½ sin 8x + ½ sin 6x = sin 6x
- sin 8x = sin 6x → sin 8x − sin 6x = 2 cos 7x · sin x = 0
- sin x = 0: x = πk; cos 7x = 0: 7x = π/2 + πk → x = π/14 + πk/7
- Eng kichik musbat: π/14 ≈ 0,224 (π dan kichik)
Типичные ошибки
- Забыть ± в cos x = a: оба знака дают корни.
- Забыть период: нужно +πk (sin, tg) или +2πk (cos).
Вопросы и ответы
Простейшие тригонометрические уравнения — что это?
Решение — не одно число, а бесконечное семейство: в конце добавляется период.
Какая формула у «Простейшие тригонометрические уравнения»?
sin x = a: x = (−1)ᵏ · arcsin a + πk; cos x = a: x = ± arccos a + 2πk; tg x = a: x = arctg a + πk; Особые случаи: sin x = 0: x = πk; cos x = 0: x = π/2 + πk
В каком классе проходят «Простейшие тригонометрические уравнения»?
В программе «Алгебра 10 класс». По этой теме 1 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Простейшие тригонометрические уравнения»?
Забыть ± в cos x = a: оба знака дают корни.