Aql Zone

Тригонометрические тождества

Основное тождество и формулы приведения — на них опираются все задачи по тригонометрии.

Основные тождества. Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменной. Основные: sin²α + cos²α = 1, tg α · ctg α = 1, 1 + tg²α = 1/cos²α, 1 + ctg²α = 1/sin²α. Доказать тождество — преобразовать одну часть в другую.

Тема проходится в программе «Алгебра 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.

Формулы

• Основноеsin²α + cos²α = 1
• Тангенс–котангенсtg α · ctg α = 1
• Следствия1 + tg²α = 1/cos²α, 1 + ctg²α = 1/sin²α
• sin(180° − α) = sin α
• cos(180° − α) = −cos α

Порядок решения

1. Выразите всё через sin и cos.
2. Приведите к общему знаменателю.
3. Примените sin² + cos² = 1 и упростите.

Разобранные примеры

1. Докажите sin α/(1 + cos α) + (1 + cos α)/sin α = 2/sin α.

   Решение

   2 / sin α

   1. Umumiy maxraj: (sin²α + (1 + cos α)²) / (sin α (1 + cos α))
   2. Suratda: sin²α + 1 + 2cos α + cos²α = 2 + 2cos α = 2(1 + cos α)
   3. (1 + cos α) qisqaradi

2. Упростите (sin α + cos α)² − 2 sin α cos α.

   Решение

   1

   1. sin²α + 2 sin α cos α + cos²α − 2 sin α cos α

3. Упростите tg α · cos α.

   Решение

   sin α

   1. (sin α / cos α) · cos α

Типичные ошибки

• Преобразовывать обе части сразу вместо одной.
• Забыть про углы, обращающие знаменатель в нуль.

Вопросы и ответы

Уроки по этой теме

• Алгебра 10 класс · глава 1 · урок 3

Термины: Алгебра 10 класс

• Арифметическая и геометрическая прогрессии
• Периодические функции
• Определения вероятности
• Иррациональные уравнения
• Квадратичная функция и её график
• Показательные уравнения
• Показательные неравенства
• Понятие логарифма
• Свойства логарифмов
• Логарифмические уравнения