Aql Zone

Угловой коэффициент касательной

Угловой коэффициент касательной — значение производной в точке касания.

Касательная. Угловой коэффициент касательной в точке x₀ равен f′(x₀) = tg α. Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). У параллельных прямых k равны, у перпендикулярных k₁ · k₂ = −1.

Тема проходится в программе «Математика 11 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.

Формулы

• Наклонk = f′(x₀) = tg α
• Уравнение касательнойy = f(x₀) + f′(x₀) · (x − x₀)
• k = f′(x₀)
• y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀)

Порядок решения

1. Найдите f(x₀) и f′(x₀).
2. Подставьте в уравнение и упростите.

Разобранные примеры

1. Уравнение касательной к y = x² в x₀ = 1?

   Решение

   y = 2x − 1

   1. f(1) = 1; f′(x) = 2x → f′(1) = 2
   2. y = 1 + 2(x − 1)

2. В каких точках касательная к y = x³ параллельна y = 3x + 1?

   Решение

   x = 1 va x = −1

   1. f′(x) = 3x² = 3 → x = ±1

3. Наклон касательной к y = x² в x₀ = 2?

   Решение

   k = 4

   1. k = 2 · 2 = 4
   2. tg α = 4

Типичные ошибки

• Забыть слагаемое f(x₀) в уравнении касательной.
• Брать k = f(x₀) вместо f′(x₀).

Вопросы и ответы

Уроки по этой теме

• Математика 11 класс · глава 2 · урок 1

Термины: Математика 11 класс

• Определённый интеграл. Ньютон–Лейбниц
• Первообразная
• Производная степени
• Площадь криволинейной трапеции
• Вероятность
• Задачи на экстремум
• Точки экстремума
• Векторы в пространстве
• Узнай формулу
• Таблица производных