Aql Zone

Способы решения

Приведите уравнение к простейшему с помощью тождеств или замены, затем примените формулу простейшего уравнения.

Способы решения. Основные способы: 1) разложение на множители; 2) замена (t = sin x и т. п.) с сведением к квадратному; 3) формулы — к одному аргументу и одной функции (двойной угол, сумма → произведение); 4) однородное уравнение делят на cosᵏ x. При замене помните |t| ≤ 1.

Тема проходится в программе «Алгебра 10 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.

Формулы

• Частные случаиsin x = 0: πk; cos x = 0: π/2 + πk; sin x = 1: π/2 + 2πk
• Сумма → произведениеsin A − sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A−B)/2)
• sin x = 0: x = πn
• cos x = 0: x = π/2 + πn
• tg x = a: x = arctg a + πn

Порядок решения

1. Приведите к одной функции и одному аргументу.
2. Сделайте замену или разложите на множители.
3. Решите каждое простое уравнение, объедините ответы.

Разобранные примеры

1. Решите 2sin²x − sin x − 1 = 0.

   Решение

   x = π/2 + 2πk; x = (−1)ᵏ⁺¹ π/6 + πk

   1. t = sin x: 2t² − t − 1 = 0 → t = 1 yoki t = −1/2
   2. sin x = 1: x = π/2 + 2πk
   3. sin x = −1/2: x = (−1)ᵏ⁺¹ · π/6 + πk

2. Решите sin 2x = cos x.

   Решение

   x = π/2 + πk; x = (−1)ᵏ π/6 + πk

   1. 2 sin x cos x − cos x = 0 → cos x (2 sin x − 1) = 0
   2. cos x = 0: x = π/2 + πk
   3. sin x = 1/2: x = (−1)ᵏ π/6 + πk

Типичные ошибки

• Разделить на cos x и потерять корни cos x = 0.
• Не отбросить корень с |t| > 1 при t = sin x.

Вопросы и ответы

Уроки по этой теме

• Алгебра 10 класс · глава 5 · урок 3

Термины: Алгебра 10 класс

• Арифметическая и геометрическая прогрессии
• Периодические функции
• Определения вероятности
• Иррациональные уравнения
• Квадратичная функция и её график
• Показательные уравнения
• Показательные неравенства
• Понятие логарифма
• Свойства логарифмов
• Логарифмические уравнения