Aql ZoneСкалярное произведение
Сумма произведений соответствующих координат. Результат — число, а не вектор.
Скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов — ЧИСЛО: в координатах x₁x₂ + y₁y₂, геометрически |a||b|cos φ. Векторы перпендикулярны ⇔ произведение равно нулю. Угол: cos φ = a·b / (|a||b|). Длина: |a|² = a · a.
Тема проходится в программе «Геометрия 8 класс». В уроке ниже есть упражнения по этой теме: ответ проверяется сразу, ошибки потом повторяются.
Формулы
- В координатах
a · b = x₁x₂ + y₁y₂ - Геометрически
a · b = |a| · |b| · cos φ - Перпендикулярность
a ⊥ b ⇔ a · b = 0 - Длина разности
|a − b|² = |a|² − 2 a·b + |b|² a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗ · b⃗ = 0
Порядок решения
- Даны координаты — перемножьте и сложите.
- Даны длины и угол — |a||b|cos φ.
- Перпендикулярность: приравняйте произведение нулю.
Разобранные примеры
a(2; 3), b(4; −1). a · b?
Решение
5
- 2 · 4 + 3 · (−1) = 8 − 3
При каком k векторы a(2; 3) и b(k; 4) перпендикулярны?
Решение
k = −6
- 2k + 12 = 0
|a| = 5, |b| = 4, угол между ними 60°. Найдите |5a − b|.
Решение
√541
- a · b = 5 · 4 · cos 60° = 10
- |5a − b|² = 25 · 25 + 16 − 10 · 10 = 625 + 16 − 100 = 541
Типичные ошибки
- Считать результат вектором: это число.
- Подставить sin φ вместо cos φ.
Вопросы и ответы
Скалярное произведение — что это?
Сумма произведений соответствующих координат. Результат — число, а не вектор.
Какая формула у «Скалярное произведение»?
В координатах: a · b = x₁x₂ + y₁y₂; Геометрически: a · b = |a| · |b| · cos φ; Перпендикулярность: a ⊥ b ⇔ a · b = 0; Длина разности: |a − b|² = |a|² − 2 a·b + |b|²
В каком классе проходят «Скалярное произведение»?
В программе «Геометрия 8 класс». По этой теме 2 урок(ов) и упражнения.
Какая ошибка чаще всего встречается в «Скалярное произведение»?
Считать результат вектором: это число.